Арбузный ломтик по средам № 146
Крутая кожура
| |
Зелёный свет означает, что можно спокойно перейти улицу примерно на одну треть.
Топологический афоризм |
Чистили ли вы картошку или яблоко? Ничего особенного с точки зрения топологии. Хотя, наверное, не так уж тривиально — можно рассмотреть варианты движения по меридианам или по параллелям, по спирали или зигзагом. Важно для нас лишь то, что срезаемая лента будет плоской. А какой формы будет срезаемая лента при «чистке» более сложного тела — тора (гири, например) или Бутылки Клейна? При чистке тора тоже получится плоская лента — хотя можно чистить вдоль большой окружности или вдоль малой, по спирали. Возможно, я ошибаюсь и все не так просто, если кто-то из читателей почистит тороидальную картофелину более изощренным способом, с удовольствием опубликую результаты. Чистить бутылку Клейна, к сожалению, можно лишь умозрительно, так как в нашем трехмерном мире она не существует без самопересечений, хотя и здесь возможны оригинальные «прорывы» энтузиастов.
Особый интерес для «чистки» представляют собой «Бруски Мебиуса», о которых написано подробнее в одноименной колонке. Собственно, заинтересовался этим вопросом мой знакомый Борис, автор интересного Живого Журнала. Именно он не только обратил внимание на этот интересный пробел в топологии, но и сделал модель бруска Мебиуса квадратного сечения и обклеил ее бумажной лентой. Потом лента была аккуратно, без разрывов, срезана, и мы смогли хорошенько рассмотреть эту странную «кожуру». Столько вопросов она вызывает. Плоская или нет? Перекручена или нет? Односторонняя как лента Мебиуса или двухсторонняя?
А если бы брусок перед склейкой был закручен на пол оборота, или на 180 градусов. Получили бы мы тогда одну «кожуру» или две? Если две — были бы они зацеплены или нет? Были бы они плоские или перекрученные.
А какую длину имеет кожура? Этот вопрос переходит в более общий — как посчитать площадь поверхности и длину ребер бруска Мебиуса? А можно ли посчитать его объем? Если мы знаем объем и длину прямоугольной призмы, изменятся ли они после замыкания с перекручиванием? Наверное, изменится, так как мы деформируем брусок, но в какую сторону, увеличится или уменьшится? Хорошая тема для школьных математических кружков и вообще для размышлений после ужина.
09.05.2007
Теги: занимательные модели
|
