|
|
Арбузный ломтик по средам № 139
Бруски Мебиуса
| |
Прижимая к груди волшебную палочку, Незнайка бросился бежать
и, стараясь добраться до дома Кнопочки кратчайшим путем,
свернул в переулок. Тут он вспомнил, что забыл поблагодарить
волшебника за чудесный подарок, и стремглав побежал назад.
Выбежав из переулка, он увидел, что улица совершенно пуста.
Волшебника не было ни на лавочке, ни в каком-либо другом месте
поблизости. Он исчез вместе с ковром-самолетом и другими
волшебными предметами, словно провалился сквозь землю или
растворился в воздухе.
Николай Носов. Незнайка в Солнечном городе |
Если мы возьмем брусок прямоугольного сечения, мысленно растянем, согнем и склеим, то получим тор прямоугольного сечения, встречающийся в реальной жизни, например, в виде пассиков для магнитофона. Если мы захотим раскрасить этот замкнутый брусок так, чтобы каждая сторона имела свой собственный цвет, то нам нужно, естественно, четыре краски. Теперь, предположим, что перед склеиванием замкнутого бруска мы повернем его на пол оборота, или на 180 градусов. Получим «толстую» ленту Мебиуса. Для ее раскраски нужно две краски — одна для стороны, которая то верхняя, то нижняя, и вторая краска для боковой стороны, которая то внешняя, то внутренняя. Эта модель как раз изображена на картинке, можете попутешествовать по ней взглядом и мысленно по невидимым сторонам. Что интересного она таит? Наверное два вопроса для гимнастики. Первый — один знакомый предложил использовать такие бруски как сердечники трансформаторов. Получится ли? Не перепутаются ли силовые линии в таком закрученном сердечнике? Второй вопрос. Если помните, разрезав ленту Мебиуса по середине, мы получали тоже ленту Мебиуса двойной длинны. Которую, кстати, необычайно трудно сложить снова, вернуть к первоначальному виду. Соответственно — если мы нанесем линию по середине одной из двух сторон нашего бруска и разрежем по ней, то тоже получим длинный зацепленный брусок потоньше. А что будет, если мы нанесем две линии по середине обеих сторон и разрежем брусок двумя взаимноперпендикулярными разрезами?
Идем дальше. Предположим, что мы перед склеиванием перекрутили брусок не на пол оборота, а на четверть — на 90 градусов. Естественно, что для этого сечение должно быть не просто прямоугольником, а квадратом. Теперь для раскраски бруска нам достаточно одной краски, так как у модели только одна сторона. Можно начать писать на нем длинную фразу (например, шпаргалку), она обойдет всю поверхность бруска и вернется к началу. Если с раскраской все ясно — то с разрезами по серединной линии наоборот — полная неизвестность. Как с одинарным, так и с двойным. Предположим, что вы идете долго по коридору прямоугольного сечения, и у вас закрадывается впечатление, что вы тут уже проходили и, кажется, в прошлый раз шли по нынешней стене или по потолку — видите свои следы. Как можно выяснить — замкнут ли коридор, перекручен ли перед замыканием и на сколько. От земного тяготения для чистоты эксперимента лучше абстрагироваться — ходить в невесомости… ну не ходить — лететь или ехать на транспортере.
А что с бруском треугольного сечения? Тривиально — если не перекручивать, то для раскраски нужны три краски. Если перекрутить на 120 или 240 градусов, то поверхность становится односторонней. Та же аналогия с коридором, только с треугольным — идете-идете и вдруг видите ваши же следы на левой, например, стенке, идете-идете и видите следы уже на обеих стенках. Вопрос — следы на стенках идут в ту же сторону, куда и вы, или в противоположную?
Раскраска бруска пятиугольного и семиугольного сечения особого удовольствия не доставит — при любом повороте перед склейкой поверхность становится односторонней. Вот шестигранный брусок дает повод для размышлений. При повороте перед склеиванием на 60 градусов он становится односторонним, ничего интересного. При закручивании на 120 градусов брусок распадается на две чередующиеся зоны, для раскраски нужны краски двух цветов. А вот при закручивании перед склейкой на 180 градусов получаются уже три поверхности, для раскраски нужны три краски. Порассуждайте на досуге о гулянии в замкнутом шестиугольном тоннеле.
Наверное, все уже поняли, что при закручивании на углы, кратные делителям числа получаются замкнутые зоны отдельного цвета. Для десятиугольника это будет 2 и 5, для восьмиугольника — 2 и 4, и для девятиугольника — 3 два раза. Имеет ли это все практическое применение? Скорее всего, нет — так же как и поэзия или составление шахматных этюдов…
14.02.2007
Теги: задачки
занимательные модели
|
Ваш отзыв автору
|
|
|
