Арбузная топология

Еще несколько вопросов о «нормальных» арбузах. Как с помощью воды определить спелость арбуза? Если арбуз раскрутить на столе, он быстро остановится или будет долго вращаться как яйцо, сваренное вкрутую? Четыре студента-тополога отрезали по куску арбуза, но после еды оказались пять корок. Может ли такое быть? И еще вопросы для праздного рассуждения. Почему полоски всегда идут по меридианам а не по параллелям? Почему мякоть спелого арбуза красного цвета — ведь копытные и парнокопытные дальтоники? Какой природный смысл в «круглости» арбуза и почему дыни и тыквы имеют не шаровые формы? Как бы вы стали делить сферический арбуз на 4, 8, 16, 6, 12 частей?

Красивая задача от Мартина Гарднера. Из сферического арбуза вырезан вписанный в него цилиндр высотой 6 единиц, найти объем оставшейся части. Думайте, а мы пока вернемся у кубическим арбузам. Предположим, на светлом фоне арбуза появились 10 темных полосок. Есть два варианта раскраски — когда полюсы, в которых встречаются полоски, расположены в центре противоположных граней, или в противоположных вершинах. Насколько во втором случае суммарная длина полосок больше?

От идеального кубического арбуза отрежем пирамидки в вершинах так, чтобы из каждой грани получился правильный восьмиугольник. Чему равна сторона восьмиугольника? Как называется полученная фигура, к какому классу тел она относиться? Какой объем оставшейся после удаления пирамидок части? Срежем еще по слою в местах пирамидок так, чтобы каждая бывшая грань квадрата снова стала квадратом, то есть, чтобы наши срезы встретились посреди ребер. Что за фигура получилась? Какая часть начального куба в оставшейся фигуре и какая в шести пирамидах? Думаете, это все? Срезаем еще по слою так, чтобы срезы встретились посреди граней бывшего куба. Не правда ли знакомая фигура получилась? Как она называется? Про объем ладно уж, шут с ним. Зато у полученной фигуры можно срезать по пирамидке с каждой из шести вершин так, чтобы каждая из восьми граней стала вместо треугольника шестиугольником… Не буду спрашивать про название, можно было бы и остановиться, но не удержусь от последней капли — если срезать еще по слою так, чтобы срезы коснулись посреди треугольных граней, то снова получим… куб и можно продолжать все с начала.

Отдохнули? Еще немного потерпите, надо иногда себя заставлять воображать нечто. Предположим, что в кубическом арбузе мыши прорыли три норки, соединив середины смежных граней. Сколько вариантов таких арбузов может быть? А если считать зеркальные варианты тождественными — то сколько тогда? Сложим из таких дырявых арбузов куб 5×5×5 и начнем лить воду в отверстие в центральном арбузе верхней грани. Какова вероятность того, что она появится в одном из наперед задуманных отверстий сбоку в нижнем ряду арбузов? Ладно уж, про то, как разрезать кубический арбуз на 4, 8, 16, 6, 12, 27 и 125 частей спрашивать не буду, после предыдущей задачи тут и думать нечего.

И еще несколько арбузных задач.

Можно ли разложить несколько арбузов а) в 3; б) в 4; в) в 2005; г) в 2006 корзин, расставленных по кругу, так, чтобы в любых двух соседних корзинах число арбузов отличалось на единицу?

Арбуз массой 20 кг содержал 99 % воды. Когда он немного усох, то стал содержать 98 % воды. Какова теперь масса арбуза?

Как разделить арбузный ломоть серповидной формы на шесть частей двумя прямыми линиями?

Арбуз весит кирпич и пол арбуза, а кирпич весит килограмм и пол кирпича, сколько весит арбуз?

Можно ли причесать волосатый арбуз без макушек?

За арбуз в 4,2 кг и дыню в 5,4 кг заплатили 3,96 рублей. Известно, что 1 кг дыни дороже 1 кг арбуза на 0,2 рубля. Сколько стоит 1 кг дыни?

Арбуз диаметром D1 стоит на рынке S1 рублей за кг, арбуз диаметром D2 — S2 рублей. Толщина корки арбуза t мм. Арбуз какой стоимости выгоднее купить? Плотность корки и мякоти считать равными.