|
|
Арбузный ломтик по средам № 158
Китайцы на эскалаторе
| |
У Светки Соколовой день рожденья,
Ей сегодня тридцать лет.
Я несу в подарок поздравленья
И огромный розовый букет.
Помнишь день рожденья
В пятом классе,
И тебе двенадцать лет.
Вот тогда, на зависть всем ребятам,
Я принёс свой розовый букет.
Текст песни «Розовые розы» группы «Веселые ребята» |
Все началось с самой простой полушуточной задачи, даже не задачи, а так, занимательного утверждения: «Если все 18-летние жители Китая встанут в одну линию и пойдут мимо вас, то эта линия никогда не закончится». Это произойдет потому, что новые жители будут достигать 18 лет и вставать в линию быстрее, чем линия пройдет мимо вас. Естественно, френды-комментаторы не преминули тут же намекнуть не бестолковость автора, ибо ничего не говорилось о скорости движения колонны, а без этого, ясное дело, говорить о движении смысла нет. Пришлось уточнить, предположив, что мимо нас проходить один китаец в секунду, движение, естественно, круглосуточное и без перерыва на обед и каникулы.
Честно говоря, постановка задачи вообще не корректная. Чтобы действительно пересчитать всех 18-летних на данный момент китайцев надо их единовременно, предположим, в течение дня, отметить какой-либо меткой. И потом уже спокойно, не торопясь, эти метки посчитать. Это было бы статично и неинтересно. Весь смысл-то в том, что процесс протекает во времени. Попробуем к нему подступиться, чтобы посмотреть что и как.
Итак, предположим колона идет со скоростью один человек в секунду. Считаем, получаем 31 536 000 секунд в год или для простоты предположим 30 миллионов человек в год. Столько пройдут мимо нас. Далее предположим, что китайцев 1,2 миллиарда человек и что они живут по 80 лет и что количество жителей каждого возраста одинаково. Делим 1,2 млрд. на 80 лет, получаем, что каждого возраста 15 миллионов человек. Начинаем процесс, 15 млн. пройдут за полгода, за это время 7,5 млн. человек достигнут 18 лет и тоже будут проходить в течение четверти года, за это время 3,75 млн. человек достигнут 18 лет и будут проходить в течение 1/8 года, за это время… и так далее. Те, кто не забыл остатки математики узнали наверняка геометрическую прогрессию и вспомнили, чему равна ее сумма: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 2. то есть, ровнешенько через год после начала процесса (если принять, что все принятые нами допущения верны), мимо проверяющего пройдет последний только что справивший 18-летие китаец… а следующему в очереди будет еще 17 лет.
Вообще говоря, такое совпадение получилось совершенно случайно, ибо все цифры взяты с потолка. Хотя, может именно это совпадение и послужило толчком для появления такой необычной задачи? А что произойдет, если увеличить скорость движения, предположим, в 2 раза? Тогда 15 миллионов пройдут за четверть года, за это время добавятся 3,75 млн. новеньких, которые пройдут за 1/16 часть года… Получаем сумму ряда 1 + 1/4 + 1/16 + 1/64 + … = 4/3 = 1,333333. Это в пределе и теоретически, на самом же деле наступит момент до истечения года когда 18-летние юноши и девушки закончатся. Точно подсчитать, когда наступит этот момент мне не удалось — надо делить 15 миллионов на степени четверки, пока результат не станет меньше единицы, можете проделать это самостоятельно.
Теперь, естественно, вопрос, а что же будет, если скорость движения уменьшить, например, вдвое? Тогда за год пройдут 15 миллионов и за это время столько же 18-летних появятся в очереди, процесс будет устоявшимся и бесконечным — количество пропускаемых в очереди равно количеству проходящих в очереди. Это соотношение интересно тем, что оно на границе устойчивости процесса. Если скорость еще чуть-чуть уменьшить, то процесс пойдет вразнос — очередь будет с хвоста расти быстрее, чем таять с головы.
Но тут всплывает одна тонкость — при медленном движении очереди некоторые юноши и девушки достигают 19-летия прямо в очереди. Что с ними делать? Если оставлять — не интересно, ибо тривиально, этот случай мы уже рассмотрели. А если их удалять из очереди, то получится некоторый саморегулирующийся процесс — чем медленнее движется очередь, тем быстрее вылетают из нее «старослужащие». Процесс требует дифференциального уравнения, оставим это настырным читателям, жду писем, интересно же узнать, чем все это устаканится. В общем-то «старение очереди» было и в предыдущих примерах, но при быстром движении мы могли теоретически построить очередь по возрасту так, чтобы никто не успел состариться до 19 лет. А при медленном движении (эх, ностальгия по прежним временам — давно не стоял в очередях) избежать старения не удастся. Хотя спорно и требует дополнительного осмысливания.
Осталось порассуждать уставшим порядком уже мозгом над последним вопросом — что происходит при изменении скорости движения колонны от вдвое меньшей начальной до начальной. Вероятно, наш процесс тоже будет изменяться в соответственно рассмотренных пределах — от бесконечно текущего, при вдвое меньшей скорости, до точно за год заканчивающегося при начально-заданной скорости. А вот линейная ли будет зависимость — даже страшно спрашивать об этом.
Хорошая модель процесса — эскалатор. На нем стоят, предположим, все 18-летние, и к нему все время подбегают 17-летние, чтобы встать на него и ехать. Если скорость движения эскалатора равна скорости подбегания молодых — то процесс работает как часы. Если эскалатор движется чуть быстрее, то после доставки партии 18 летних начинается движение новичков вперемежку с пустыми ступеньками. Если эскалатор движется чуть медленнее, то у входа начинает расти толпа 18-летних, не успевающих запрыгнуть на него. К чему все это было? Так — вдруг спросят, а вы уже в курсе.
09.01.2008
Теги: задачки
|
Ваш отзыв автору
|
|
|
