|
|
Арбузный ломтик по средам № 134
Через речку быструю я мосточек выстрою…
| |
Он начал атаку в центре, и, конечно, как и предполагалось, центр сразу превратился в поле бессмысленных и ужасных действий. Это была не любовь, не встреча, не надежда, не привет, не жизнь. Гриппозный озноб и опять желтый снег, послевоенный неуют, все тело чешется. Черный ферзь в центре каркал, как влюбленная ворона, воронья любовь, кроме того, у соседей скребли ножом оловянную миску. Ничто так определенно не доказывало бессмысленность и призрачность жизни, как эта позиция в центре. Пора кончать игру.
Василий Аксенов. Победа |
Попалась задача довольно красивая. Канава имеет ширину 4 метра и поворачивает под прямым углом. Какой минимальной длины надо найти две одинаковые дощечки, чтобы из них соорудить переправу?
После публикации задачи читатели запросили уточнение — с какой стороны строится переправа? Ясно, что с внешней стороны угла, с внутренней-то никак не получится, но для строгости подтверждаю — с внешней. Еще уточню для пущей убедительности, чтобы предупредить возможные вопросы. Дощечки невесомые, не имеют ширины и высоты, длина нахлеста для опор тоже не учитывается.
Задача несложная, сводится к рассмотрению двух прямоугольных равнобедренных треугольников — мечта любого троечника. Но она порождает следующие, не менее интересные задачи. Предположим, что при прочих неизменных условиях у нас теперь есть три одинаковых дощечки — какой минимальной длины они могут быть. Ясно, что одна из них (назовем ее первой) будет перекинута с «внутреннего» угла канавы. А вот как нам расположить две оставшиеся? Напрашивается одну из них (вторую по счету) положить также как и в первоначальной задаче симметрично относительно внешнего угла, а третью опереть на вторую и на берег так, чтобы она была основанием равнобедренного треугольника. И первую дощечку тянуть к этой третьей, естественно, по перпендикуляру. Будет ли этот вариант искомым, то есть длины всех трех дощечек минимальны? Предложение сдвинуть вторую дощечку отвергается сразу, ясно, что именно «равнобедренное» ее расположение делает ее ближе к вершине внутренней стороны канавы. Но не смущает ли вас вопрос — будет ли расстояние этой вершины до третьей дощечки меньше, чем расстояние от вершины до второй дощечки? Из условия равенства длин второй и третьей дощечки ответ на этот вопрос очень даже неочевиден.
Еще менее очевиден ответ на вопрос — а что если вторую дощечку положить на угол канавы несимметрично? Даст ли это выигрыш? И как именно тогда надо расположить третью дощечку для материализации этого выигрыша? Напрашивается рекомендация опереть третью дощечку на самый дальний (от внешнего угла) край и на смежный берег… чуть подумав, решим, что лучше третью дощечку опереть на середину второй, хотя тоже сомнительно. Наверное, есть смысл так расположить третью дощечку, чтобы перпендикуляр из вершины другого берега падал на ее середину? Или хотя бы на дощечку, а не на ее продолжение… Можно, конечно, подойти формально, задаться расположением третьей дощечки относительно второй и написать уравнение для длины дощечек в зависимости от угла расположения второй дощечки относительно берега. Продифференцировав по углу и приравняв первую производную нулю… ну вы в курсе… Вряд ли этим кто-то займется, предлагаю искать простое изящное геометрическое решение.
Увеличиваем количество дощечек до четырех с тем же заданием. Ясности нам не прибавит и длину дощечек уменьшит только в том случае, если мы в задаче с тремя дощечками просечем фишку — найдем оптимальное укладывание дощечек. Это нам позволит экстраполировать задачу на большее количество дощечек, доведя их количество в пределе до бесконечности. Интересно — будет ли увеличение количества дощечек сказываться на уменьшении длины? И еще интереснейший вопрос — какую фигуру опишет множество оптимально расположенных дощечек?
Да, не надо меня просить опубликовать ответы. С двумя дощечками задача легкая, для шестого класса, с тремя я решить не смог, не говоря уже о последующих. Вся надежда на коллективное творчество, после публикации колонки будет открыта ветка в моем Живом журнале для обсуждения, прошу.
13.12.2006
Теги: задачки
|
Ваш отзыв автору
|
|
|
