Арбузный ломтик по средам № 177
Частный случай
| |
Площадь треугольника
знали предки те,
что пол основания
брать по высоте.
Ирина Зайцева |
Речь пойдет о частных случаях в геометрических задачах, позволяющих решать сложные задачи в течение секунды, надо лишь разглядеть его, этот частный случай. Ненавидящим геометрию лучше дальше не читать, чтобы лишний раз не раздражаться, зато любители получат удовольствие. От сопричастности к чудесам.
Итак, поехали. Первая, самая красивая задача от Мартина Гарднера возможно известна любителям занимательной математики. В шаре просверлено отверстие длиной 6 см., найти объем оставшейся части. Засучиваем рукава и начинаем находить объем вписанного цилиндра и двух шапок под и над ним, отталкиваясь только от известной длины отверстия. Исписав лист бумаги получим искомый объем, выраженный через длину отверстия. В чем же изюминка всего этого примера? Изюминка в том, что можно было заметить, раз объем оставшейся части не зависит от диаметра сверла, то мы можем смело рассмотреть частный случай при диаметре сверла, равном нулю. Тогда длина отверстия превращается в диаметр шара, объем которого как раз равен объему оставшейся части. «Здорово?» — спрашивала Шапокляк в мультике про Чебурашку.
Еще одна подобная задача. В кольце (плоская фигура между двумя концентрическими окружностями) проведена хорда, касающаяся внутренней окружности иs имеющая длину L. Найти площадь кольца. Вы уже в курсе — можно искать, выражая площадь окружностей через длину хорды. А можно заметить, что площадь кольца не зависит от радиуса внутренней окружности, значит, можно рассмотреть случай, когда он равен нулю. Тогда наша хорда превращается в диаметр внешней окружности, площадь которой равна площади вырожденного в круг кольца. Тривиальное Пи*L2/4
И третий случай применения частного случая, извините за тавтологию. Найти сумму квадратов расстояний точки на окружности, вписанной в правильный треугольник, до вершин этого треугольника. Решать «в лоб» довольно хлопотно трудоемко. Но мы-то уже знаем, что в жизни важны частные случаи, например, точка, лежащая в точке касания. А почему бы и нет — ведь ограничений на расположение точки нет, а искомое расстояние, судя по всему постоянное. Для точки касания решается устно за пару секунд. Многочасовая проверка, при желании, может подтвердить правильность применения частного случая.
Стишок в эпиграфе и картинка с сайта учителя математики Ирины Зайцевой.
14.01.2009
Теги: геометрия
задачки
|
