|
|
Субботний блик науки № 31
Две незадачи
Задачки-то обычно в «Арбузном ломтике» Евгения Скляревского, но сегодня пара их просочилась в нашу, субботнюю, колонку. Вообще, популярные занимательные задачи следует разбить на две категории: те, которые рядовые, с простой косточкой, и другие — с неожиданной изюминкой. Пример первого типа: поезд, длиной один километр, равномерно ползущий по стальному полотну со скоростью шестьдесят километров в час, въезжает в тоннель, тоже протяженностью в один километр; спрашивается, за какое такое время поезд проедет тоннель. Этот тип задач никакой другой пользы, кроме связанной с отысканием решения, нам не дает. Не так — со вторым типом, о котором и поговорим. Классический пример задачи второго типа — старая и, наверное, всем известная задача (Monty Hall problem) про три двери и яркое, ослепительное телешоу, которую (ну вдруг кто из читателей не слышал) мы повторим. Ее, задачу, следует ставить, ровным голосом изложив удивленному испытуемому следующий текст:
«Вы — участник телевикторины „Море дверей“, сподобившийся дойти до финала. Перед вами три двери, за одной из которых — вожделенный замечательный приз — автомобиль, а может, автоматическая кофеварка с киловаттным грилем или яхта, а то и полная подборка номеров журнала „Паразитология в СССР“ за 1977 год или еще какая радость. Но за двумя другими дверьми ничего подобного нет — там пусто. Вы можете открыть только одну из дверей. Конечно, за какой дверью приз, вы не знаете, посему вынуждены выбрать случайным образом. Однако во время хода шоу вам удалось так сильно подавить ведущего (ведущую) своей врожденной харизмой, доставшейся по наследству от бабушки, что он, ведущий, готов вам подыграть. Поэтому, как только вы выбрали дверь, которую желаете открыть, ведущий прежде открывает одну из двух других, но обязательно ту, за которой нет приза, после чего предлагает вам, если есть желание, изменить свой выбор. Внимание, вопрос: должны ли вы настаивать на „своей“ двери, выбранной первой, или вам, из „соображений вероятности“, выгоднее „поменять“ дверь, указав на другую из двух, остающихся закрытыми, или вообще без разницы, как поступить? Другими словами: как связана вероятность выигрыша со стратегией по выбору дверей?»
Изюминка этой задачи вовсе не в том, как ее решать. Нет. Фокус в другой стороне: оглашение правильного ответа, что при «сохранении» двери вероятность выигрыша — только 1/3, а при перемене решения, после того как одну из «пустых» открыли, и переключении на другую дверь — аж 2/3, способно сильно раскалить обстановку обсуждения дверной проблемы. Ибо нет сейчас человека, не слышавшего разное про теорию вероятностей, и редко встретишь персону, которая не настаивает, что вероятность выигрыша не зависит от того, поменял игрок дверь или нет. (Сами проверьте среди своих знакомых.) Мол, говорит такой решатель, без разницы — всегда одна треть вероятность: дверей-то три. (Что, конечно, неверно, так как правильно: 1/3 и 2/3.) И именно в этом вся хитрость задачи, в результатах обсуждения, выявляющего людей, готовых до хрипоты делиться усвоенным где-то в процессе обучения взглядом на «вероятность». Демонстрируя тем самым один из феноменов преобладания над здравой мыслью закрепившейся в мозгу жесткой схемы (которая в нашем случае и дает сбой) рассмотрения подобных задач. Нет чтобы сперва просто подумать — лучше сразу применить костяк представлений, да потом еще и настаивать на незыблемости костяка (ведь в других случаях он срабатывал безотказно!) Впрочем, задача про двери, хоть, видимо, и самая плодовитая на разного рода бурные обсуждения с доказательствами, несколько тяжеловата в формулировке и имеет некоторую сложность. Интереснее другая, гораздо более показательная.
Эта задача про лыжников, велосипедистов, автомобилистов и среднюю скорость существует во множестве формулировок. Некоторые весьма изящны. Например: «Лыжник поднимался в гору со средней скоростью 5 км/ч. С какой скоростью он должен скатиться с горы обратно, чтобы средняя скорость на всем пути составила 10 км/ч?». Или: «Участник трековых велосипедных гонок проехал половину гоночного круга со средней скоростью 15 км/ч. С какой скоростью ему необходимо проехать оставшуюся часть, чтобы средняя скорость на всем круге составила 30 км/ч?». Или: «Необходимо проехать из пункта А в пункт Б и сразу же, не останавливаясь, вернуться обратно таким образом, чтобы средняя скорость на всем пути составила 60 км/ч. С какой скоростью придется возвращаться, если первая часть пути была пройдена со скоростью 30 км/ч?». Ну и т. п. Смысл, наверное, ясен. Если вы желаете порешать сию задачу сами, не читайте следующий абзац, закройте его пальцами — там ответ, который скрывать мы не будем, потому как цель нашей колонки не в загадках.
Итак, правильный ответ: с бесконечно большой скоростью должен наш велосипедист-лыжник-автомобилист двигаться на втором участке пути. Ну или, что физически вернее, невозможно проехать вторую часть дистанции (вернуться в пункт А или съехать с горы) так быстро, как этого желает постановщик задачи. И вроде все ясно с ответом, как кажется. Но не все просто. Математика, конечно, этой задачей не проймешь, да. А вот человек с «обычным» образованием, даже (как приходилось не раз убедиться автору этой колонки) с высшим, которого в школе на уроках математики учили не математике, а тому, как переставлять буковки и чиселки в формулах таким образом, чтобы получилась хорошая оценка, сразу проявляет себя, начиная уверенно писать формулы к задаче. Во впитанной со школьных лет убежденности, что алгебра все сама сделает — зачем вдумываться в суть, главное верно составить уравнение. Да, если алгеброй воспользоваться правильно, то ответ сразу появляется перед глазами. Но не тут-то было! Свое берет изюминка задачи: решатель, получив «деление на нуль», начинает с удвоенной энергией искать ошибку в своих «пропорциях» («Ну не может же ноль быть в знаменателе!»), и этот поиск способен завести испытуемого в такие непролазные дебри, о связи которых с данной проблемой и подумать-то было невозможно. Удивительно, что в обсуждении и решениях этой, казалось бы, простой задачи, возникают даже столь замечательные понятия, как «отрицательная скорость». А ответ с бесконечностью почему-то кажется настолько фантастическим, что способен породить жаркое обсуждение, не хуже, чем дверная проблема.
Эх, сложно бывает преодолеть усвоенные в школе догматические схемы-инструкции: «Напиши уравнение!», «На нуль делить нельзя». Издержки ли это методик преподавания? Или просто задачи такие каверзные?
В общем, лучше к решению всех этих занимательных задач подходить осторожнее. Да, а то как бы чего не вышло.
27.11.2004
Теги: математика
|
Ваш отзыв автору
|
